જો ${\left( {1 + {x^{{{\log }_2}\,x}}} \right)^5}$ ના વિસ્તરણમાં ત્રીજું પદ $2560$ હોય તો $x$ શક્ય કિમત મેળવો.

જો ${(1 + x)^{43}}$ ની વિસ્તરણમાં ${(2r + 1)^{th}}$ અને ${(r + 2)^{th}}$ પદના સહગુણક સમાન હોય તો $r$ મેળવો.

સાબિત કરો કે $(1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n}$ નો સહગુણક, $(1+x)^{2 n-1}$ ના વિસ્તરણના $x^{n}$ ના સહગુણક કરતાં બે ગણો છે.

જો $\left( a x^3+\frac{1}{ b x^{1 / 3}}\right)^{15}$ ના વિસ્તારમાં $x^{15}$ નો સહગુણક એ $\left( a x^{1 / 3}-\frac{1}{ b x^3}\right)^{15}$ ના વિસ્તરણ માં $x^{-15}$ ના સહગુણક જેટલો થાય,જ્યાં $a$ અને $b$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તો આવી પ્રત્યેક ક્રમયુક્ત જોડ $(a,b)$ માટે $..........$.

જો ${\left[ {2\,x\,\, + \,\,\frac{1}{x}} \right]^n}$ ના વિસ્તરણમાં બધા સહગુણકોનો સરવાળો $256$ થાય તો આ વિસ્તરણમાં અચળ પદ મેળવો 

$\left( t ^{2} x ^{\frac{1}{5}}+\frac{(1- x )^{\frac{1}{10}}}{ t }\right)^{15}, x \geq 0$ ના વિસ્તરણમાં $t$ થી સ્વતંત્ર હોય તેવા અચળ પદની મહતમ કિમંત  $K$ હોય તો $8\,K$ નું મુલ્ય $....$ મેળવો.